lunes, enero 15, 2007

NÚMEROS RACIONALES

Introducción

Los números racionales, se designan con la letra Q (por “quotient, o cociente, en inglés). Un número se llama racional si es el cociente de dos números enteros: a/b

(excluyendo el caso, obviamente, en que b sea cero, ¿por qué? Pues, no se puede dividir por cero. Supongan que entran a un negocio donde todos los artículos que se venden cuestan lo mismo, y que el precio de cada artículo es de $1.000. Pregunto, si Uds. entran con $1.000, ¿cuántos artículos pueden comprar?, creo que la respuesta es obvia: uno solo. En cambio si cada artículo costara $500, entonces podrían comprar 2. Si ahora cada artículo costara $1, podrían comprar 1000 artículos. Ahora bien: ¿y si los objetos fueran gratuitos? ¿Cuántos se pueden llevar? Se dan cuenta que si los artículos que se venden en el negocio no costaran nada, tener o no tener mil pesos poco importa, porque ustedes se podrían llevar todo. Con esta idea en la cabeza es que uno podría decir que no tiene sentido “dividir” mil pesos entre “objetos que no cuestan nada”, en definitiva lo que no tiene sentido es dividir por cero)

Los números racionales son los que se conocen como “las fracciones”, con numerador y denominador números enteros. Por ejemplo, (-7/2), (15/8), (2/3), 3, son números racionales. Es interesante notar, que cualquier número entero es también un número racional, porque todo número entero a se puede escribir como una fracción o como cociente de el mismo por 1. O sea a=a/1
Todo número racional tiene un desarrollo decimal (que se obtiene, justamente, haciendo el cociente entre los dos números enteros). Lo que sabemos de los números racionales es que al hacer el cociente, el desarrollo decimal es, o bien finito (como en el caso de 1/2 = 0,5 por que después vendrían solo ceros a la derecha de la coma), o bien es periódico como 1/3 = 0,33333…, en donde se repite un número (en este caso el 3), o podría ser un grupo de números (que se llama período), como en el caso de 102/99 = 1,0303030…en donde el período es 30.
Es más podemos decir que todo número racional tiene un desarrollo racional finito o periódico. Y al revés: dado un número decimal periódico finito o periódico cualquiera, eso corresponde a un número racional.
Hay números que no son racionales. Son números que tienen un desarrollo decimal pero que se sabe que no son racionales. El ejemplo más famoso es π = 3,14159…El número √2 = 1,41421356…La particularidad que tienen todos estos números es que tienen un desarrollo decimal que no termina nunca (en el sentido de que no aparecen ceros a la derecha de la coma a partir de ningún momento) y tampoco son periódicos (en el sentido en que no hay un lugar del desarrollo a partir del cual se repita indefinidamente un grupo de números). Es decir: las cifras de cada número son imposibles de predecir en función de las anteriores. No siguen ningún patrón. Estos números se llaman irracionales. Juntos los racionales y los irracionales componen el conjunto de los números reales, que son todos los números que necesitamos para medir en nuestra vida cotidiana.
Historia
Les propongo mirar el siguiente video: Números y cifras, un viaje por el tiempo. En el se muestran los distintos sistemas de numeración a través del tiempo.












Profundización

Los invito a desarrollar dentro del contexto de los números racionales, habilidades en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación), hallar el valor de x en ecuaciones con una incógnita, transformar decimales en fracción y viceversa, expresar los números racionales en notación científica. Y además aplicar todos estos conocimientos en la resolución de problemas.

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