domingo, febrero 04, 2007

FUNCIONES

Si se ponen a reflexionar sobre la ciencia tal cual la conocemos hoy no tardaran mucho en encontrar alguna relación con el concepto de función. Las funciones son herramientas matemáticas muy poderosas, nos permiten expresar muchas de las leyes de la naturaleza y solucionar problemas prácticos en las más diversas disciplinas.
Una característica común a muchas de las actividades creativas del hombre es un constante proceso de abstracción, consistente en asociar cosas de una cierta categoría con cosas de otra categoría.
Para hablar asociamos sonidos a conceptos en nuestra mente, y a su vez asociamos los conceptos de nuestra mente a ideas u objetos del mundo que nos rodea.
“El mundo para ser humano es una gran colección de asociaciones”.
Nuestra tendencia a asociar unas cosas con otras es generalizada, por ejemplo a cada momento en el tiempo le asociamos un número del 1 al 24 para saber que hora es; a cada auto le asociamos un número de patente, a cada persona un número de documento, etc.
Son numerosos los distintos tipos de asociaciones que manejamos, algunas son bastante libres, por ejemplo, asociamos en el lenguaje varias palabras (sinónimos), al mismo objeto. Otras son las “asociaciones uno a uno”, aquellas en las cuales para cada elemento de la primera categoría existe uno y exactamente uno de la otra categoría que le corresponde. Tal es el caso de las coordenadas geográficas fuera de los polos; hay una correspondencia entre cada punto en la Tierra y una única terna de valores: longitud, latitud y altitud.
¿Será posible clasificar los diferentes tipos de asociaciones que manejamos y obtener mediante su estudio información adicional? La respuesta es sí, y es el concepto matemático de función el que permite tal estudio.
En matemáticas una función consta, dicho de manera más o menos formal, de dos conjuntos, A y B, y una regla de asociación entre ellos con las siguientes dos propiedades:

i) Para cada elemento de A existe un elemento de B que es su asociado.
ii) No hay elementos de A que tengan más de un asociado.
Al conjunto A se le conoce como el dominio de la función y al conjunto B como el contradominio.

Aunque en matemáticas se trabaja la mayor parte del tiempo con funciones que asocian valores numéricos con valores numéricos, una función puede estar definida entre cualesquiera dos conjuntos. Considérese por ejemplo, al conjunto A como la totalidad de provincias de la República Argentina y al conjunto B como la totalidad de ciudades del país. La regla de una función entre estos dos conjuntos podría ser que a cada provincia le corresponda su ciudad capital. Dada una provincia, siempre hay una ciudad que es su capital, es decir, se satisface la condición i). La condición ii) también se cumple, pues no hay provincias con dos o más capitales. En el conjunto B hay muchas ciudades más que las capitales, por lo que no todos los elementos de B están asociados a alguno de A, pero sí todos los de A a alguno de B.Si se toma un elemento x del conjunto A y se quiere denotar su asociado "y" en B bajo la función f, se acostumbra escribir:


Cada vez que se sustituya un valor de x, se obtendrá el correspondiente asociado, según la regla dada por la función. En el ejemplo de las capitales y sus ciudades tendríamos

En un gran número de casos, cuando se aplica el concepto de función para describir situaciones reales, los conjuntos A y B entre los que se define la función, resultan ser conjuntos de números; a instantes del tiempo asignamos temperaturas, valores de velocidad, humedad, etc. En general, la variable independiente será una cantidad tal como tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente será alguna propiedad que le asignemos, como la temperatura, la edad, etc. En dichos casos hablamos de funciones numéricas y la citada regla de asociación vendrá dada con frecuencia por una fórmula, del tipo

lo que debe ser entendido así: cada vez que se elija un valor numérico x de A, le corresponderá el número que se obtenga de sustituir x en la fórmula. Por ejemplo, si el conjunto A es el de todos los números positivos, al 5 se le asociará el 15, ya que al sustituirlo en la fórmula se obtiene
De la misma manera se encontrarían los asociados de los demás elementos.
Una razón muy importante de que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica es que la ciencia en su versión actual intenta describir todo no sólo cualitativamente sino también cuantitativamente; un evento se considera mejor entendido si se le pueden asociar cifras y, mejor aún, si se pueden hacer predicciones de valores de las variables involucradas. Por ejemplo, en la meteorología nos interesa saber los valores de temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. que predominarán en una cierta región en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.
A menudo se indica una función por medio de su gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta muy cómodo. Tal es el caso de la variación de los índices de precios o el crecimiento de la población mundial.


El ser humano tiene una gran habilidad para interpretar la información que se le presenta en forma visual.
¿Cómo se grafica una función? Si se tiene una función, f, para la cual tanto el conjunto dominio de la función, A, como el contradominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas coordenadas cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las cuales se dibuja por lo general horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados cada uno por una unidad específica y subdivididos en las fracciones que sea necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x,y) donde

y = f (x). Las funciones estudiadas en 9ºEGB de la educación secundaria son: la función proporcional, la función lineal y la función afin.

Buscando en la Web algún video sobre el tema funciones di con un dibujo animado del Pato Donald en el que se observa la relación entre la música y la matemática, veran en el mismo como los pitagóricos establecieron una asociación entre la longitud de una cuerda y las notas musicales.


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